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小学奥数辅导：鸡兔同笼问题与假设法
鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。
例1 小红家的鸡与兔关在同一个笼子里，数头有16个，数脚有44只。问：小红家的鸡与兔各有多少只?
分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16=32(只)脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32=12(只)脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。
解：有兔(44-2×16)÷(4-2)=6(只)，
有鸡16-6=10(只)。
答：有6只兔，10只鸡。
当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16=64(只)脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64-44=20(只)脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2=2(只)。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。
有鸡(4×16-44)÷(4-2)=10(只)，
有兔16——10=6(只)。
由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡;也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。
例2 今有100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少个?
分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300-140=160(个)。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1=2(个)，因为160÷2=80，故小和尚有80人，大和尚有
100-80=20(人)。
同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。
在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。
例3 得力文化用品商行出售“得力”牌文化用品每套19元，“蓝天”牌文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套?
分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。
假设买了16套“得力”文化用品，则共需19×16=304(元)，比实际多304——280=24(元)，现在用“蓝天”文化用品去换“得力”文化用品，每换一套少用19——11=8(元)，所以
买“蓝天”文化用品 24÷8=3(套)，
买“得力”文化用品 16-3=13(套)。
例4 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只?
分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180(只)。
现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只)，而180÷6=30，因此有兔子30只，鸡100——30=70(只)。
解：有兔(2×100——20)÷(2+4)=30(只)，
有鸡100——30=70(只)。
答：有鸡70只，兔30只。
一、例题精讲：
例1 现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个?
解：小瓶有(4×50-20)÷(4+2)=30(个)，
大瓶有50-30=20(个)。
答：有大瓶20个，小瓶30个。
例2 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨?
分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。
利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144(吨)。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9(辆)小卡车。这样每辆小卡车能装144÷9=16(吨)。由此可求出这批钢材有多少吨。
解：4×36÷(45-36)×45=720(吨)。
答：这批钢材有720吨。
例3 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶?
分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120(元)。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5(元)。搬运站每打破一只花瓶要损失0.24+1.26=1.5(元)。因此共打破花瓶4.5÷1.5=3(只)。
解：(0.24×500-115.5)÷(0.24+1.26)=3(只)。
答：共打破3只花瓶。
例4 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下?
分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了
12×(2+3)=60(下)。
可求出小乐每分钟跳
(780—60)÷(2+3+3)=90(下)，
小乐一共跳了90×3=270(下)，因此小喜比小乐共多跳
780—270×2=240(下)。
二、考练：
1.鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只?
2.学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副?
3.班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。问：买活页簿、日记本各几本?
4.龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只?
5.小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几张?
6.一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。问：这几天中共有几个雨天?
7.振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分，那么他做对了几道题?
8.有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克?
9.蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只?
10.鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。问：鸡、兔各几只?
三、考练参考答案：
1.兔75只，鸡25只。
2.象棋9副，跳棋17副。
3.活页簿21本，日记本11本。
4.30只龟，70只鹤。
5.贺年卡5张，明信片9张。
6.6天。 7.15道。
8.4800千克。
解：[(80×20)÷(120-80)]×120=4800(千克)。
9.5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。
提示：把小虫分成8条腿与6条腿两种，先求出蜘蛛的数。
10.兔18只，鸡14只。
解：由于鸡换成兔，兔换成鸡，脚的只数少了8只，故原来的兔比鸡多4只。减去这4只兔，则鸡、兔一样多，并且共有脚100-4×4=84(只)，所以，
鸡有84÷(4+2)=14(只)，
兔有14+4=18(只)。
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